Найдено возможное доказательство abc-гипотезы

12 сентября 2012 года| Текст: Дмитрий Сафин

Сотрудник Киотского университета Синити Мотидзуки (Shinichi Mochizuki) опубликовал серию работ, которые, как утверждается, содержат доказательство abc-гипотезы.

Эта гипотеза из теории чисел была высказана в восьмидесятых годах прошлого века французом Джозефом Эстерле (Joseph Oesterlé) и британцем Дэвидом Уильямом Массером (David William Masser). Формулируется она, в полном соответствии с названием, для троек натуральных чисел a, b и c. Предполагается, что эти числа не имеют общих делителей, превышающих единицу, и удовлетворяют условиям a < b и a + b = c.

Чтобы продвинуться дальше, необходимо ввести понятие радикала числа n — rad(n). Согласно основной теореме арифметики, любое натуральное n можно единственным образом (с точностью до порядка следования сомножителей) представить как произведение простых чисел, то есть в виде p₁^d₁ • p₂^d₂ •…• p_k^d_k, где p₁ < p₂ <…< p_k — простые, а d₁, d₂, …, d_k — натуральные. Радикал же отличается от самогó n тем, что все степени d_k приравниваются к единице; другими словами, rad(n) будет равен p₁•p₂•…•p_k. Если мы возьмём, к примеру, числа 6, 24 и 36, то у каждого из них радикал равняется шести, а rad(20) = rad(80) = 10.

Обычно в упомянутых выше тройках радикал произведения a•b•c оказывается больше числа c. Найти несколько исключений из правила несложно: имеются довольно очевидные наборы (1, 8, 9), (5, 27, 32) и (32, 49, 81), а компьютер, если ограничиться c < 50 000, обнаружит ещё 273 примера. Легко доказать и то, что «исключительных» троек, имеющих rad(a•b•c) < c, бесконечно много (существует, скажем, их серия a = 1, b = 9ⁿ – 1, c = 9ⁿ).

Именно «исключительные» тройки и интересовали авторов abc-гипотезы. Согласно ей, для любого ε > 0 существует лишь конечное число наборов (a, b, c), которые удовлетворяют условию c > rad(a•b•c)^{1 + ε}. Иначе говоря, при ε = 0 количество наборов, как мы установили выше, бесконечно, но ситуация должна меняться даже при ε = 0,001 или 0,0001.

Силу этого утверждения прекрасно характеризуют его следствия, к которым относится, в частности, Великая теорема Ферма, объявляющая, что уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ не имеет натуральных решений для любого целого n > 2. Связь между теоремой и гипотезой станет очевидной, если рассмотреть другую формулировку последней: для любого ε > 0 и всевозможных троек (a, b, c) должна существовать такая константа К, что c всегда будет уступать выражению К•rad(a•b•c)^{1 + ε}. В этой формулировке каждому значению ε соответствует своя константа, и мы можем взять (пока — гипотетически) верный случай ε = 1 и К < 1, который ведёт к неравенству c < rad(a•b•c)².

Далее мы заменяем xⁿ, yⁿ и zⁿ на a, b и c, после чего записываем серию бесспорных соотношений rad(a•b•c) = rad(xⁿ•yⁿ•zⁿ) = rad(x•y•z) ≤ x•y•z < z³. Поскольку c заменяет zⁿ и уступает rad(a•b•c)², можно записать, что zⁿ < (z³)² = z⁶. При n ≥ 6 это неравенство, разумеется, выполняться не будет, что свидетельствует в пользу теоремы Ферма.

Из истинности гипотезы Эстерле и Массера следует и «более общее», чем Великая теорема, утверждение, известное как гипотеза Ферма — Каталана. Она говорит о том, что уравнение a^d + b^e = c^f имеет только конечное число решений (a, b, c, d, e, f), где a, b, c — натуральные взаимно простые числа, а d, e, f — натуральные, удовлетворяющие неравенству d^–1 + e^–1 + f^–1 < 1. Строго говоря, если a или b, как в упомянутом выше случае 1 + 8 = 9, приравнять к единице, решений будет бесконечно много (единицу можно возводить в сколь угодно большую степень), но при формулировке гипотезы Ферма — Каталана они принимаются за одно.

Профессор Киотского университета Синити Мотидзуки.

Поскольку abc-гипотеза тесно связана с Великой теоремой Ферма, гипотезой Ферма — Каталана и многими другими решёнными и открытыми проблемами теории чисел, её доказательство не может быть простым. Найти его пытались многие, и в 2007 году известный французский математик Люсьен Шпиро (Lucien Szpiro) уже сообщал о том, что поиски привели к успеху. Заявление Шпиро вскоре было опровергнуто: тщательную проверку его расчёты не прошли.

Проверить работу г-на Мотидзуки, разбитую на четыре статьи ([1], [2], [3], [4]) общим объёмом в ~500 страниц, будет гораздо сложнее. Сам автор отмечает, что его исследование мало напоминает обычные математические труды, посвящённые тем или иным свойствам известных (или легко конструируемых на их основе) математических объектов. В первых двух статьях японец лишь вводит в рассмотрение новые математические объекты, в конце третьей — устанавливает некоторые их характеристики, а в четвёртой — использует эти характеристики для вывода доказательства. «Чтобы осмыслить выкладки Мотидзуки, придётся потратить огромное количество времени, — говорит представитель Стэнфордского университета Брайан Конрад (Brian Conrad). — Но сделать это необходимо, поскольку найденные им оригинальные методы и подходы могут упростить решение других задач из теории чисел».

Очевидно, что разобраться в новом доказательстве неспециалист просто не сможет. Самое общее представление об идеях Синити Мотидзуки даёт эта дискуссия на сайте MathOverflow, но даже здесь нужна очень серьёзная математическая подготовка.

Подготовлено по материалам Nature News.